---
title: 剛体の運動方程式④オイラー角と角速度の変換
tags: 
author: [伊藤恒平](https://convert.docswell.com/user/Kouhei_Ito)
site: [Docswell](https://www.docswell.com/)
thumbnail: https://bcdn.docswell.com/page/VEP2ZM2WE8.jpg?width=480
description: 剛体の運動方程式④オイラー角と角速度の変換 by 伊藤恒平
published: November 03, 24
canonical: https://convert.docswell.com/s/Kouhei_Ito/5QRM6Y-2024-11-03-095652
---
# Page. 1

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/VEP2ZM2WE8.jpg)

剛体の
運動方程式④
オイラー角と
角速度の変換
剛体の運動方程式④オイラー角と角速度の変換 © 2024 by Kouhei
Ito is licensed under CC BY 4.0. To view a copy of this license, visit
https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/


# Page. 2

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/27VDW9D97Q.jpg)

回転の座標変換行列
Ｚ軸周り
cos 𝜓 sin 𝜓 0
𝑹𝑍 (𝜓) = − sin 𝜓 cos 𝜓 0
0
0
1
Y軸周り
cos 𝜓 0 − sin 𝜓
0
1
0
𝑹𝑌 (𝜃) =
sin 𝜓 0 cos 𝜓
X軸周り
1
0
0
𝑹𝑋 (𝜙) = 0 cos 𝜙 sin 𝜙
0 − sin 𝜙 cos 𝜙


# Page. 3

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/5JGYDZY4JL.jpg)

回転の座標変換行列
Ｚ軸周り
𝑥0
𝑥1
𝑦1 = 𝑹𝑍 (𝜓) 𝑦0
𝑧0
𝑧1
Y軸周り
𝑥2
𝑥1
𝑦2 = 𝑹𝑌 (𝜃) 𝑦1
𝑧2
𝑧1
X軸周り
𝑥3
𝑥2
𝑦3 = 𝑹𝑋 (𝜙) 𝑦2
𝑧3
𝑧2
𝑥0
𝑥3
𝑦3 = 𝑹𝑋 (𝜙)𝑹𝑌 (𝜃)𝑹𝑍 (𝜓) 𝑦0
𝑧0
𝑧3
𝑥0
= 𝑬(𝜙, 𝜃, 𝜓) 𝑦0
𝑧0
回転の座標変換行列
𝑬 𝜙, 𝜃, 𝜓 = 𝑹𝑋 (𝜙)𝑹𝑌 (𝜃)𝑹𝑍 (𝜓)


# Page. 4

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/47QM1LMREP.jpg)

回転の座標変換行列
𝑬 𝜙, 𝜃, 𝜓 =
cos 𝜃 cos 𝜓
sin 𝜙 sin 𝜃 cos 𝜓 − cos 𝜙 sin 𝜓
cos 𝜙 sin 𝜃 cos 𝜓 + sin 𝜙 sin 𝜓
cos 𝜃 sin 𝜓
sin 𝜙 sin 𝜃 sin 𝜓 + cos 𝜙 cos 𝜓
cos 𝜙 sin 𝜃 sin 𝜓 − sin 𝜙 cos 𝜓
− sin 𝜃
sin 𝜙 cos 𝜃
cos 𝜙 cos 𝜃


# Page. 5

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/KE4VRDVQ71.jpg)

地球座標から航空機の座標へ
𝑍3 𝑍1
𝑍2 𝑍0
𝑋0
𝑋1
𝑋3 𝑋2
𝑌0
𝑌3 𝑌2
座標の回転のイメージ
𝑬 𝜙, 𝜃, 𝜓 は地球座標系𝑋0 𝑌0 𝑍0 系
から𝑋3 𝑌3 𝑍3 系への座標変換行列


# Page. 6

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/L713QZ3LEG.jpg)

地球座標から飛行機の座標へ
𝑍3 𝑍1
𝑍2 𝑍0
𝑋0
𝑬 𝜙, 𝜃, 𝜓 は地球座標系𝑋0 𝑌0 𝑍0 系
から𝑋3 𝑌3 𝑍3 系への座標変換行列
逆は？
𝑋1
𝑋3 𝑋2
𝑌0
𝑌3 𝑌2
座標の回転のイメージ


# Page. 7

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/G7WPM9PQE2.jpg)

地球座標から飛行機の座標へ
𝑍3 𝑍1
𝑍2 𝑍0
𝑋0
𝑋1
𝑋3 𝑋2
地球座標系→機体座標系
𝑬 𝜙, 𝜃, 𝜓 は地球座標系𝑋0 𝑌0 𝑍0 系
から機体座標系𝑋3 𝑌3 𝑍3 系への座
標変換行列
機体座標系→地球座標系
𝑌0
𝑌3 𝑌2
座標の回転のイメージ
逆行列𝑬−𝟏 𝜙, 𝜃, 𝜓 は機体座標系
𝑋3 𝑌3 𝑍3 系から地球座標系𝑋0 𝑌0 𝑍0
系への座標変換行列


# Page. 8

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/4JZKQ9K3J3.jpg)

地球座標から飛行機の座標へ
𝑍3 𝑍1
𝑍2 𝑍0
回転の座標変換行列の逆行列は
転置行列と等しい
𝑬−𝟏 𝜙, 𝜃, 𝜓 = 𝑬𝑻 𝜙, 𝜃, 𝜓
𝑋0
𝑋1
𝑋3 𝑋2
𝑌0
𝑌3 𝑌2
座標の回転のイメージ


# Page. 9

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/YE6Q6KQZEV.jpg)

転置行列について
転置の記号
1
4
7
𝑎
𝑑
𝑔
2
5
8
𝑏
𝑒
ℎ
3 𝑇
1
6 = 2
9
3
𝑐
𝑓
𝑖
𝑇
𝑎
= 𝑏
𝑐
4
5
6
7
8
9
𝑑
𝑒
𝑓
𝑔
ℎ
𝑖


# Page. 10

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/GE5R6PR9J4.jpg)

機体の速度ベクトルの地球座標への変換
𝑢
𝑥ሶ
𝑦ሶ = 𝑬−𝟏 𝜙, 𝜃, 𝜓 𝑣
𝑤
𝑧ሶ
航空機の
地球座標
での速度
航空機の
機体座標
での速度


# Page. 11

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/972DM6D57R.jpg)

機体の速度ベクトルの地球座標への変換
𝑢
𝑥ሶ
𝑦ሶ = 𝑬−𝟏 𝜙, 𝜃, 𝜓 𝑣
𝑤
𝑧ሶ
航空機の
地球座標
での速度
航空機の速度が地球
に対してどっち向い
ているか
航空機の
機体座標
での速度
航空機の速度が機体
に対してどっち向い
ているか


# Page. 12

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/DJY2X926JM.jpg)

オイラー角：航空機の姿勢
地球座標系を𝜓→𝜃→𝜙回して航空機の機体座標に
一致するとき（𝜙，𝜃，𝜓）は航空機の姿勢を表す。
これをオイラー角と呼ぶ


# Page. 13

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/V7N81LW1E8.jpg)

オイラー角：航空機の姿勢
地球座標系を𝜓→𝜃→𝜙回して航空機の機体座標に
一致するとき（𝜙，𝜃，𝜓）は航空機の姿勢を表す。
これをオイラー角と呼ぶ
同じ姿勢を表すオイラー角は一つではないことに注意


# Page. 14

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/YJ9K54XYJ3.jpg)

機体角速度のオイラー角角速度への変換
𝜙ሶ
𝑝
−𝟏
ሶ
=
𝑬
𝜙, 𝜃, 𝜓 𝑞
𝜃
𝑟
𝜓ሶ
以降、角速度の座標変換と言います。


# Page. 15

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/GJ8RYQ2K7D.jpg)

角速度の座標変換
𝜙ሶ
𝑝
−𝟏
ሶ
=
𝑬
𝜙, 𝜃, 𝜓 𝑞
𝜃
𝑟
𝜓ሶ
座標変換行列では角速度の変換はできない


# Page. 16

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/LJLK4X2P7R.jpg)

何故、角速度の座標変換に座標変換行列
が使えないのか？
機体の角速度（𝑝, 𝑞, 𝑟）は機体座標に定義されてい
るが、オイラー角は（𝝓, 𝜽, 𝝍）一つの座標系に対
して定義されているものでは無いから。
剛体の運動方程式③の座標変換行列の説明を参照してください


# Page. 17

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/47M2KL827W.jpg)

角速度の座標変換
𝑦0
𝑥0
𝜓ሶ
𝑧0


# Page. 18

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/P7RMXK55J9.jpg)

角速度の座標変換
𝑦1 𝑦0
𝑦0
𝑧0
𝑥0
𝜓ሶ
𝜓ሶ
𝑧0
２次元平面への射影
𝑥1
𝑥0


# Page. 19

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/PJXV6LKXEX.jpg)

角速度の座標変換
𝜃ሶ
𝑦1
𝑥1
𝜓ሶ
𝑧1
回転後の座標系


# Page. 20

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/3JKQ1L59JD.jpg)

角速度の座標変換
𝑥2 𝑥1
𝜃ሶ
𝑦1
𝑦1
𝑥1
ሶ
𝜓
ሶ
𝜃
𝜓ሶ
𝑧1
２次元平面への射影
𝑧2
𝜃 𝑧
1


# Page. 21

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/LE3PQ3K9J5.jpg)

角速度の座標変換
𝑥2 𝑥1
𝜓ሶ sin 𝜃
𝜃ሶ
𝑦2
𝜓ሶ cos 𝜃
𝜓ሶ cos 𝜃
𝑥2
𝑧2
回転後の座標系
𝑧1
ሶ
𝜓
ሶ
𝜓ሶ sin 𝜃 𝜃
𝑧2
𝜃 𝑧
1


# Page. 22

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/8EDL9438JG.jpg)

角速度の座標変換
𝜓ሶ sin 𝜃
𝜃ሶ
𝑦2
𝜙ሶ
𝜓ሶ cos 𝜃
𝑥2
𝑧2


# Page. 23

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/V7P2ZM4W78.jpg)

角速度の座標変換
𝑧3 𝑧2
𝜓ሶ cos 𝜃
𝜓ሶ sin 𝜃
𝜃ሶ
𝑦2
𝜙ሶ
𝜓ሶ cos 𝜃
𝑥2
ሶ
𝜃
𝜙ሶ
𝑥2
𝑧2
２次元平面への射影
𝑦3
𝜙
𝑦2


# Page. 24

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/2JVDW9X9JQ.jpg)

角速度の座標変換
𝑧3 𝑧2
𝜓ሶ cos 𝜃 sin 𝜙
𝜃ሶ sin 𝜙
𝜃ሶ cos 𝜙
𝜓ሶ sin 𝜃
𝑦3
𝜓ሶ cos 𝜃
𝜓ሶ cos 𝜃 cos 𝜙
ሶ
𝜃
𝜃ሶ sin 𝜙 𝜙ሶ
ሶ
𝑥2
𝜙ሶ
𝜓ሶ cos 𝜃 cos 𝜙
𝑥3
𝑧3
回転後の座標系
𝑦3
𝜙
𝑦2
𝜓 cos 𝜃 sin 𝜙


# Page. 25

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/5EGYDZV4EL.jpg)

角速度の座標変換
𝜓ሶ cos 𝜃 sin 𝜙
𝜃ሶ sin 𝜙
𝜃ሶ cos 𝜙
𝜓ሶ sin 𝜃
𝑦3
𝜙ሶ
𝑞
𝑦3
𝜓ሶ cos 𝜃 cos 𝜙
𝑝
𝑟
𝑥3
𝑥3
𝑧3
𝑧3
𝑥3 𝑦3 𝑧3は機体座標系


# Page. 26

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/4JQM1L6R7P.jpg)

角速度の座標変換
𝜓ሶ cos 𝜃 sin 𝜙
𝜃ሶ sin 𝜙
𝜃ሶ cos 𝜙
𝜓ሶ sin 𝜃
𝑦3
𝜙ሶ
𝑞
𝑦3
𝜓ሶ cos 𝜃 cos 𝜙
𝑝
𝑟
𝑥3
𝑥3
𝑧3
𝑧3
𝑥3 𝑦3 𝑧3は機体座標系
ሶ
ሶ
𝑝 = 𝜙 − 𝜓 sin 𝜃
𝑞 = 𝜃ሶ cos 𝜙 + 𝜓ሶ cos 𝜃 sin 𝜙
𝑟 = 𝜓ሶ cos 𝜃 cos 𝜙 − 𝜃ሶ sin 𝜙


# Page. 27

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/K74VRD4QJ1.jpg)

角速度の座標変換
𝜓ሶ cos 𝜃 sin 𝜙
𝜃ሶ sin 𝜙
𝜃ሶ cos 𝜙
𝜓ሶ sin 𝜃
𝑦3
𝜙ሶ
𝑞
𝑦3
𝜓ሶ cos 𝜃 cos 𝜙
𝑝
𝑟
𝑥3
𝑥3
𝑧3
𝑧3
𝑝 = 𝜙ሶ − 𝜓ሶ sin 𝜃
𝑞 = 𝜃ሶ cos 𝜙 + 𝜓ሶ cos 𝜃 sin 𝜙
𝑟 = 𝜓ሶ cos 𝜃 cos 𝜙 − 𝜃ሶ sin 𝜙
1
𝑝
𝑞 = 0
𝑟
0
0
cos 𝜙
− sin 𝜙
−sin 𝜃
sin 𝜙 cos 𝜃
cos 𝜙 cos 𝜃
𝜙ሶ
𝜃ሶ
𝜓ሶ


# Page. 28

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/LJ13QZ4L7G.jpg)

角速度の座標変換
𝜓ሶ cos 𝜃 sin 𝜙
𝜃ሶ sin 𝜙
𝜃ሶ cos 𝜙
𝜓ሶ sin 𝜃
𝑦3
𝜙ሶ
𝑦3
𝜓ሶ cos 𝜃 cos 𝜙
𝑝
𝑟
𝑥3
𝑥3
𝑧3
𝑧3
1
0
𝑝
𝑞 = 0 cos 𝜙
𝑟
0 − sin 𝜙
𝑞
−sin 𝜃
sin 𝜙 cos 𝜃
cos 𝜙 cos 𝜃
𝜙ሶ
𝜃ሶ
𝜓ሶ
1 sin 𝜙 tan 𝜃
𝜙ሶ
cos 𝜙
𝜃ሶ = 0
0 sin 𝜙Τcos 𝜃
𝜓ሶ
cos 𝜙 tan 𝜃
− sin 𝜙
cos 𝜙Τcos 𝜃
𝑝
𝑞
𝑟


# Page. 29

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/GJWPM9XQ72.jpg)

角速度のオイラー角角速度への変換
地球座標系→機体座標系
1
0
𝑝
𝑞 = 0 cos 𝜙
𝑟
0 − sin 𝜙
−sin 𝜃
sin 𝜙 cos 𝜃
cos 𝜙 cos 𝜃
𝜙ሶ
𝜃ሶ
𝜓ሶ
機体座標系→地球座標系
1 sin 𝜙 tan 𝜃
𝜙ሶ
cos 𝜙
𝜃ሶ = 0
0 sin 𝜙Τcos 𝜃
𝜓ሶ
cos 𝜙 tan 𝜃
− sin 𝜙
cos 𝜙Τcos 𝜃
𝑝
𝑞
𝑟


# Page. 30

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/4EZKQ963E3.jpg)

剛体の運動方程式と座標変換のまとめ
１
機体に固定された機体座標系で定義
２
未知数は
3
地球座標系での速度と角速度を求めるには座標変換が必要
４
地球座標系での速度と角速度を積分することにより地球上
での位置と姿勢が判明する
機体速度
機体角速度
𝑢, 𝑣, 𝑤
𝑝, 𝑞, 𝑟


# Page. 31

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/Y76Q6K2Z7V.jpg)

課題１
𝑬−1 を求めなさい


# Page. 32

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/G75R6P29E4.jpg)

課題２
𝜋 𝜋 𝜋
オイラー角が（ , , ）(単位はrad)の時
3 3 6
機体座標系において
機体の速度が（１０，２０，３０）m/s
角速度が（４，５，６）rad/s
のとき地球座標系における航空機の速度と角
速度を求めなさい


# Page. 33

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/9J2DM645JR.jpg)

課題３
一例であるが機体座標系における航空機の速度
が（１０，２０，３０）m/sで地球座標系におい
ては（２０，１０，３０）m/sだったとする．
座標変換行列は一つに定めることができないこ
とをこの例を用いて示しなさい。
（実際に２つ以上の座標変換行列が考えられるこ
とを具体的に示せばよい。）


