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title: 離散数学講義スライド（四色定理）
tags:  #数学 #離散数学 #グラフ理論 #四色問題 #四色定理  
author: [つてつち](https://convert.docswell.com/user/tutetuti)
site: [Docswell](https://www.docswell.com/)
thumbnail: https://bcdn.docswell.com/page/LELPRLWR7R.jpg?width=480
description: 離散数学の授業で使用＆配布した講義スライドです。 ・四色問題の概説 ・六色定理 ・五色定理 ・四色定理のケンプの誤証明
published: July 25, 24
canonical: https://convert.docswell.com/s/tutetuti/53G6DL-2024-07-25-192446
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# Page. 1

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/LELPRLWR7R.jpg)

四色問題
の概説


# Page. 2

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/4JM4RM9P7W.jpg)

Four-Color Problem
四色問題
平面上のどんな地図も
４色あれば塗り分けられるか？
※ 隣接する異なる領域は異なる色で塗る
※ 点のみで接する場合は隣接とはみなさない


# Page. 3

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/PJRWRVGY79.jpg)

Four-Color Problem
四色問題
平面上のどんな地図も
４色あれば塗り分けられるか？
※ 隣接する異なる領域は異なる色で塗る
※ 点のみで接する場合は隣接とはみなさない


# Page. 4

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/PEXPRZX47X.jpg)

2色必要な平面地図
※ 隣接する異なる領域は異なる色で塗る
※ 点のみで接する場合は隣接とはみなさない


# Page. 5

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/3EKDR8WPJD.jpg)

2色必要な平面地図
※ 隣接する異なる領域は異なる色で塗る
※ 点のみで接する場合は隣接とはみなさない


# Page. 6

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/L73R8214J5.jpg)

３色必要な平面地図
※ 隣接する異なる領域は異なる色で塗る
※ 点のみで接する場合は隣接とはみなさない


# Page. 7

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/87DYMZX57G.jpg)

３色必要な平面地図
※ 隣接する異なる領域は異なる色で塗る
※ 点のみで接する場合は隣接とはみなさない


# Page. 8

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/VJP6RDPDE8.jpg)

４色必要な平面地図
※ 隣接する異なる領域は異なる色で塗る
※ 点のみで接する場合は隣接とはみなさない


# Page. 9

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/2EV3R12G7Q.jpg)

４色必要な平面地図
※ 隣接する異なる領域は異なる色で塗る
※ 点のみで接する場合は隣接とはみなさない


# Page. 10

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/57G3M2LDJL.jpg)

５色必要な平面地図？？
※ 隣接する異なる領域は異なる色で塗る
※ 点のみで接する場合は隣接とはみなさない


# Page. 11

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/4EQ5RPYXJP.jpg)

５色必要な平面地図？？
※ 隣接する異なる領域は異なる色で塗る
※ 点のみで接する場合は隣接とはみなさない


# Page. 12

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/KJ498YW271.jpg)

５色必要な平面地図？？
３色で必要十分
※ 隣接する異なる領域は異なる色で塗る
※ 点のみで接する場合は隣接とはみなさない


# Page. 13

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/LE1K26YKJG.jpg)

５色必要な平面地図は無いのか？
どれだけ意地悪に描いても4色で足りるの？


# Page. 14

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/GEWDRWGPJ2.jpg)

四色問題の発祥
1852年
Francis Guthrie
フランシス・ガスリー
Frederick Guthrie
フレデリック・ガスリー
Augustus de Morgan
ド・モルガン
William Rowan Hamilton
ハミルトン


# Page. 15

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/47ZGR5L6E3.jpg)

四色問題の解決の歴史
Augustus de Morgan
ド・モルガン
Arthur Cayley
ケイリー
1878年 ロンドン数学会
Alfred Bray Kempe
187９年 ケンプが証明した・・・？
Kempe, A. B.;
On the Geographical Problem of the Four Colours.
Amer. J. Math. 2 (1879), no. 3, 193–200.


# Page. 16

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/YJ6YR9WL7V.jpg)

四色問題の解決の歴史
Alfred Bray Kempe
187９年 ケンプが証明した・・・？
Percy John Heawood
1890年 ヘイウッドが誤りを指摘
Heawood, P. J.; Map-colour theorem. The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics 24 (1890), 332-338.
五色定理を証明
平面上のどんな地図も
５色あれば塗り分けられる


# Page. 17

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/GJ5G8NMMJ4.jpg)

四色問題の解決の歴史
Alfred Bray Kempe
187９年 ケンプが証明した・・・？
Percy John Heawood
1890年 ヘイウッドが誤りを指摘
Heawood, P. J.; Map-colour theorem. The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics 24 (1890), 332-338.
五色定理を証明
数学者たちの執念
ケンプの証明方針を発展
Kenneth Appel
Wolfgang Haken
1977年 アッペルとハーケンが証明


# Page. 18

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/9E2YK59RER.jpg)

アッペルとハーケンの論文
Appel, Kenneth; Haken, Wolfgang;
Every Planar Map is Four Colorable. I. Discharging.
Illinois Journal of Mathematics 21 (1977), no.3, 429-490.
Appel, Kenneth; Haken, Wolfgang; Koch, John;
Every Planar Map is Four Colorable. II. Reducibility.
Illinois Journal of Mathematics 21 (1977), no.3, 491-567.
最終的に741ページの
単行本を出版
Appel, Kenneth; Haken, Wolfgang;
Every Planar Map is Four-Colorable.
Contemporary Mathematics 98 (1989).


# Page. 19

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/D7YGNK457M.jpg)

最強コンビ
アッペルとハーケンの論文
コンピュータに詳しい
四色問題に詳しい
487の規則を採用した手続きで
1834個（最終的に1405個まで減った）
のパターンを見つける
全てのパターンが特定の条件を満たすことを
膨大な場合分けで証明する
コンピュータ
を使って証明した


# Page. 20

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/VENGXRY4J8.jpg)

物議を醸した
証明とは？
つまらない
証明の正しさを
どう検証する？
四色問題にしか
使えない証明法だ
コンピュータが正しく
動作しなかったら？
エレガントじゃない
エレファントな証明


# Page. 21

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/Y79W8MP473.jpg)

物議を醸した
証明とは？
つまらない
証明の正しさを
どう検証する？
四色問題にしか
使えない証明法だ
コンピュータが正しく
動作しなかったら？
エレガントじゃない
性能が向上したコンピュータで機械的に検証
人間には長すぎる証明しかない定理も
研究対象になる時代へ


# Page. 22

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/G78N8LDVJD.jpg)

アッペルとハーケンの論文以後
1997年 Robertsonらの新証明
• 証明方針は同じ＆コンピュータで証明
• 32個の規則、633個のパターン
Robertson, Neil; Sanders, Daniel; Seymour, Paul; Thomas, Robin; The four-colour theorem. J. Combin. Theory Ser. B 70 (1997), no. 1, 2–44.
2008年 Gonthierの検証
• 証明支援システムCoqで検証完了
Gonthier, Georges; Formal proof—the four-color theorem. Notices Amer. Math. Soc. 55 (2008), no. 11, 1382–1393.
1997年～2017年
• Hales（ヘイルズ）によるケプラー予想の解決
• 証明支援システムで検証完了
Hales, Thomas; Adams, Mark; Bauer, Gertrud; Dang, Tat Dat; Harrison, John; Le Truong Hoang; Kaliszyk, Cezary; Magron, Victor;
McLaughlin, Sean; Nguyen, Tat Thang; Nguyen, Quang Truong; Nipkow, Tobias; Obua, Steven; Pleso, Joseph; Rute, Jason;
Solovyev, Alexey; Ta, Thi Hoai An; Tran, Nam Trung; Trieu, Thi Diep; Urban, Josef; Vu, Ky; Zumkeller, Roland
A formal proof of the Kepler conjecture. Forum Math. Pi 5 (2017), e2, 29 pp.


# Page. 23

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/L7LPRLMRJR.jpg)

参考文献
Wilson, Robin J.;
Four Colours Suffice: How the Map Problem Was Solved.
Penguin Books, (2003).
ロビン・ウィルソン (著); 茂木健一郎 (翻訳);
四色問題. 新潮社, (2004).
一松信;
四色問題 どう解かれ何をもたらしたのか.
講談社, (2016).
Biggs, Norman L.; Lloyd, E. Keith;
Wilson, Robin J.
Graph theory 1736–1936.
Oxford University Press (1986).
N.L. ビッグス (著); E.K. ロイド (著);
R.J. ウィルソン (著);
一松信 (翻訳); 秋山仁 (翻訳); 恵羅博 (翻訳);
グラフ理論への道. 地人書館, (1986).


# Page. 24

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/4EM4RMYPJW.jpg)

六色定理


# Page. 25

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/PERWRV9YJ9.jpg)

The Four-Color Theorem
四色定理
平面上のどんな地図も
４色あれば塗り分けられる
※ 隣接する異なる領域は異なる色で塗る
※ 点のみで接する場合は隣接とはみなさない


# Page. 26

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/P7XPRZQ4JX.jpg)

グラフでモデル化して塗り分けよう
地図の領域の形状はそれほど重要ではない
どの異なる２つの領域が隣接しているかが重要


# Page. 27

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/37KDR89PED.jpg)

グラフでモデル化して塗り分けよう
地図の各領域をグラフの頂点とみなす


# Page. 28

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/LJ3R82W4E5.jpg)

グラフでモデル化して塗り分けよう
異なる2つの領域が隣接しているとき
対応する２つの頂点を１つの辺で結ぶ


# Page. 29

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/8JDYMZK5JG.jpg)

グラフでモデル化して塗り分けよう
辺同士が交差しないように平面上に描くと
（単純）平面グラフを得る


# Page. 30

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/VEP6RDKD78.jpg)

グラフでモデル化して塗り分けよう
辺で結ばれた異なる2頂点は色が異なるように
各頂点を塗る
2
1
1
2
3
4
4
2
2
2
3
1
1
4
3
4


# Page. 31

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/27V3R1VGJQ.jpg)

グラフでモデル化して塗り分けよう
もとの地図の領域を
対応する頂点の色で塗る
2
1
1
2
3
4
4
2
2
2
3
1
1
4
3
4


# Page. 32

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/5JG3M21DEL.jpg)

グラフでモデル化して塗り分けよう
もとの地図の領域が塗り分けられる


# Page. 33

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/47Q5RPDXEP.jpg)

四色定理（頂点塗り分けVer.）
平面グラフの頂点は
4色以下で塗り分けられる
2
1
1
2
3
4
4
2
2
2
3
1
1
4
3
4


# Page. 34

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/KE498YZ2J1.jpg)

六色定理（頂点塗り分けVer.）
平面グラフの頂点は
６色以下で塗り分けられる
2
5
1
2
3
4
4
2
6
2
3
1
1
4
3
5


# Page. 35

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/L71K26RKEG.jpg)

六色定理（頂点塗り分けVer.）の証明
数学的帰納法Ver.
Gを平面グラフとする
Gの頂点数nに関する数学的帰納法で証明する
n=1のとき
1
1色で塗り分けられる
n≧2のとき
頂点数がn-1の平面グラフの頂点は
6色以下で塗り分けられると仮定する


# Page. 36

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/G7WDRW1PE2.jpg)

六色定理（頂点塗り分けVer.）の証明
数学的帰納法Ver.
次数が0の頂点 v が存在するとき
G-v は n-1 頂点の平面グラフ
帰納法の仮定よりG-vは6色以下で塗り分けられる
v
G-v


# Page. 37

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/4JZGR5P673.jpg)

六色定理（頂点塗り分けVer.）の証明
数学的帰納法Ver.
次数が0の頂点 v が存在するとき
G-ｖ を6色以下で塗り分ける
v を適切に塗ればGは6色以下で塗り分けられる
v
1
6色以下で塗り分け
G-v


# Page. 38

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/YE6YR9MLJV.jpg)

六色定理（頂点塗り分けVer.）の証明
数学的帰納法Ver.
次数が1の頂点 v が存在するとき
G-v は n-1 頂点の平面グラフ
帰納法の仮定よりG-vは6色以下で塗り分けられる
v
G-v


# Page. 39

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/GE5G8NZME4.jpg)

六色定理（頂点塗り分けVer.）の証明
数学的帰納法Ver.
次数が1の頂点 v が存在するとき
G-ｖ を6色以下で塗り分ける
v の次数は1だから塗れる色が5色余っている
v
1
6色以下で塗り分け
G-v


# Page. 40

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/972YK5RR7R.jpg)

六色定理（頂点塗り分けVer.）の証明
数学的帰納法Ver.
次数が1の頂点 v が存在するとき
余っている色でvを塗る
Gは6色以下で塗り分けられる
v
1
6色以下で塗り分け
G-v
2


# Page. 41

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/DJYGNKD5JM.jpg)

六色定理（頂点塗り分けVer.）の証明
数学的帰納法Ver.
次数が2の頂点 v が存在するとき
G-v は n-1 頂点の平面グラフ
帰納法の仮定よりG-vは6色以下で塗り分けられる
v
G-v


# Page. 42

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/V7NGXR64E8.jpg)

六色定理（頂点塗り分けVer.）の証明
数学的帰納法Ver.
次数が2の頂点 v が存在するとき
G-ｖ を6色以下で塗り分ける
v の次数は2だから塗れる色が4色余っている
2
1
6色以下で塗り分け
G-v
v


# Page. 43

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/YJ9W8ML4J3.jpg)

六色定理（頂点塗り分けVer.）の証明
数学的帰納法Ver.
次数が2の頂点 v が存在するとき
余っている色でvを塗る
Gは6色以下で塗り分けられる
2
1
6色以下で塗り分け
G-v
v
3


# Page. 44

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/GJ8N8LXVED.jpg)

六色定理（頂点塗り分けVer.）の証明
数学的帰納法Ver.
次数が3の頂点 v が存在するとき
G-v は n-1 頂点の平面グラフ
帰納法の仮定よりG-vは6色以下で塗り分けられる
v
G-v


# Page. 45

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/LJLPRL8RER.jpg)

六色定理（頂点塗り分けVer.）の証明
数学的帰納法Ver.
次数が3の頂点 v が存在するとき
G-ｖ を6色以下で塗り分ける
v の次数は3だから塗れる色が3色余っている
2
1
3
6色以下で塗り分け
G-v
v


# Page. 46

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/47M4RM6PEW.jpg)

六色定理（頂点塗り分けVer.）の証明
数学的帰納法Ver.
次数が3の頂点 v が存在するとき
余っている色でvを塗る
Gは6色以下で塗り分けられる
2
1
4
3
6色以下で塗り分け
G-v
v


# Page. 47

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/P7RWRVPYE9.jpg)

六色定理（頂点塗り分けVer.）の証明
数学的帰納法Ver.
次数が4の頂点 v が存在するとき
G-v は n-1 頂点の平面グラフ
帰納法の仮定よりG-vは6色以下で塗り分けられる
v
G-v


# Page. 48

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/PJXPRZ34EX.jpg)

六色定理（頂点塗り分けVer.）の証明
数学的帰納法Ver.
次数が4の頂点 v が存在するとき
G-ｖ を6色以下で塗り分ける
v の次数は4だから塗れる色が2色余っている
4
2
1
3
6色以下で塗り分け
G-v
v


# Page. 49

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/3JKDR8YP7D.jpg)

六色定理（頂点塗り分けVer.）の証明
数学的帰納法Ver.
次数が4の頂点 v が存在するとき
余っている色でvを塗る
Gは6色以下で塗り分けられる
4
2
1
5
3
6色以下で塗り分け
G-v
v


# Page. 50

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/LE3R829475.jpg)

六色定理（頂点塗り分けVer.）の証明
数学的帰納法Ver.
次数が5の頂点 v が存在するとき
G-v は n-1 頂点の平面グラフ
帰納法の仮定よりG-vは6色以下で塗り分けられる
v
G-v


# Page. 51

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/8EDYMZG5EG.jpg)

六色定理（頂点塗り分けVer.）の証明
数学的帰納法Ver.
次数が5の頂点 v が存在するとき
G-ｖ を6色以下で塗り分ける
v の次数は5だから塗れる色が1色余っている
4
v
2
1
3
5
6色以下で塗り分け
G-v


# Page. 52

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/V7P6RD3DJ8.jpg)

六色定理（頂点塗り分けVer.）の証明
数学的帰納法Ver.
次数が5の頂点 v が存在するとき
余っている色でvを塗る
Gは6色以下で塗り分けられる
4
v
2
1
6
3
5
6色以下で塗り分け
G-v


# Page. 53

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/2JV3R14GEQ.jpg)

六色定理（頂点塗り分けVer.）の証明
数学的帰納法Ver.
次数が5以下の頂点が存在するとき
Gは6色以下で塗り分けられる
次数が5以下の頂点が存在しないとき
五辺国補題より
そのような場合はありえない


# Page. 54

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/5EG3M2KD7L.jpg)

五辺国補題
平面グラフには次数が5以下の頂点がある
五辺国


# Page. 55

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/4JQ5RPNX7P.jpg)

五辺国補題
平面グラフには次数が5以下の頂点がある
非平面グラフ
気持ち
平面グラフ
交差しないように描こうとすると
辺をたくさんは描けないよね


# Page. 56

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/K7498YG2E1.jpg)

五辺国補題の証明
連結な平面グラフについて証明すればよい
Gを連結な平面グラフとする
頂点数が6以下のとき
どの頂点も次数は5以下である
頂点数が7以上のとき
非連結な平面グラフは
複数の連結な平面グラフ
から構成されるので
それぞれに次数5以下の
頂点がある
辺の数を数えてみよう
気持ち
交差しないように描こうとすると
辺をたくさんは描けないよね


# Page. 57

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/LJ1K26DK7G.jpg)

五辺国補題の証明
Gは、平面をいくつかの閉じた領域と
１つの開いた領域に分割する
n : 頂点数
m : 辺数
r : 領域数
とおく
n≧7≧4、また、Gは連結な単純グラフなので
どの領域の境界も3本以上の辺を含む
n&lt;4
非連結
単純でない
n≧4＆単純連結


# Page. 58

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/GJWDRWYP72.jpg)

五辺国補題の証明
Gの各辺の両サイドに1個ずつアメ
アメの総数を数えてみよう
を置く


# Page. 59

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/4EZGR5X6J3.jpg)

五辺国補題の証明
どの領域の境界も3本以上の辺を含むので
どの領域にもアメは３個以上ある
アメの総数 ≧ 3r
アメは辺１本ごとに2個ずつ置いているので
アメの総数 ＝ 2m
ゆえに
3r ≦ 2m


# Page. 60

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/Y76YR94LEV.jpg)

五辺国補題の証明
平面グラフのオイラーの公式より
2 = r-m+n
連結な平面グラフの
領域、辺、頂点の数を
それぞれ r 、m、nとおくと
6 = 3r-3m+3n
r-m+n = 2
≦ 2m-3m+3n
≦ -m+3n
m ≦ 3n-6
辺がたくさんは無い


# Page. 61

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/G75G8NQM74.jpg)

五辺国補題の証明
握手補題より
単純グラフの次数の総和は
辺の数の2倍である
Gの次数の総和 = 2m ≦ 6n-12 &lt; 6n
よってGには次数が5以下の頂点が存在する
よって五辺国補題は成り立つ


# Page. 62

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/9J2YK5PRJR.jpg)

六色定理（頂点塗り分けVer.）の証明
数学的帰納法Ver.
次数が5以下の頂点が存在するとき
Gは6色以下で塗り分けられる
次数が5以下の頂点が存在しないとき
五辺国補題より
そのような場合はありえない
よってGは6色以下で塗り分けられる
以上より、六色定理は成り立つ


# Page. 63

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/DEYGNK55EM.jpg)

六色定理（頂点塗り分けVer.）
平面グラフの頂点は
６色以下で塗り分けられる
2
5
1
2
3
4
4
2
6
2
3
1
1
4
3
5


# Page. 64

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/VJNGXRN478.jpg)

六色定理（頂点塗り分けVer.）の証明
背理法Ver.
背理法で証明する
背理法の仮定
6色以下では塗り分けできない平面グラフがある
6色以下では塗り分けできない平面グラフのうち
頂点数が最小のものをひとつ選び G とおく
最小反例
五辺国補題よりGには次数が5以下の頂点がある
次数が5以下の頂点をひとつ選び v とおく


# Page. 65

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/YE9W8MR4E3.jpg)

六色定理（頂点塗り分けVer.）の証明
背理法Ver.
G-v は G より頂点数が少ない平面グラフ
Gは最小反例だからG-vは6色以下で塗り分けられる
v
次数５以下
G-v


# Page. 66

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/GE8N8LWV7D.jpg)

六色定理（頂点塗り分けVer.）の証明
背理法Ver.
G-ｖ を6色以下で塗り分ける
v の次数は6より小さいから塗れる色が余っている
4
v
2
1
3
次数５以下
5
G-v


# Page. 67

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/LELPRLNR7R.jpg)

六色定理（頂点塗り分けVer.）の証明
背理法Ver.
余っている色でvを塗る
Gは6色以下で塗り分けられる
Gの定義に矛盾するため定理は成り立つ
4
v
2
1
6
3
次数５以下
5
G-v


# Page. 68

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/4JM4RMXP7W.jpg)

六色定理（頂点塗り分けVer.）
平面グラフの頂点は
６色以下で塗り分けられる
2
5
1
2
3
4
4
2
6
2
3
1
1
4
3
5


# Page. 69

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/PJRWRVNY79.jpg)

五色定理


# Page. 70

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/PEXPRZN47X.jpg)

The Four-Color Theorem
四色定理
平面上のどんな地図も
４色あれば塗り分けられる
※ 隣接する異なる領域は異なる色で塗る
※ 点のみで接する場合は隣接とはみなさない


# Page. 71

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/3EKDR8NPJD.jpg)

グラフでモデル化して塗り分けよう
地図を(単純)平面グラフでモデル化


# Page. 72

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/L73R82V4J5.jpg)

グラフでモデル化して塗り分けよう
辺で結ばれた異なる2頂点は色が異なるように
各頂点を塗る
2
1
1
2
3
4
4
2
2
2
3
1
1
4
3
4


# Page. 73

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/87DYMZ857G.jpg)

グラフでモデル化して塗り分けよう
もとの地図の領域を
対応する頂点の色で塗る
2
1
1
2
3
4
4
2
2
2
3
1
1
4
3
4


# Page. 74

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/VJP6RD8DE8.jpg)

グラフでモデル化して塗り分けよう
もとの地図の領域が塗り分けられる


# Page. 75

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/2EV3R1NG7Q.jpg)

四色定理（頂点塗り分けVer.）
平面グラフの頂点は
4色以下で塗り分けられる
2
1
1
2
3
4
4
2
2
2
3
1
1
4
3
4


# Page. 76

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/57G3M25DJL.jpg)

六色定理（頂点塗り分けVer.）
平面グラフの頂点は
６色以下で塗り分けられる
2
5
1
2
3
4
4
2
6
2
3
1
1
4
3
5


# Page. 77

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/4EQ5RPZXJP.jpg)

五色定理（頂点塗り分けVer.）
平面グラフの頂点は
５色以下で塗り分けられる
2
5
1
2
3
4
4
2
2
2
3
1
1
4
3
5


# Page. 78

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/KJ498Y3271.jpg)

五辺国補題
平面グラフには次数が5以下の頂点がある


# Page. 79

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/LE1K261KJG.jpg)

五色定理（頂点塗り分けVer.）の証明
背理法Ver.
背理法で証明する
背理法の仮定
5色以下では塗り分けできない平面グラフがある
5色以下では塗り分けできない平面グラフのうち
頂点数が最小のものをひとつ選び G とおく
最小反例
G


# Page. 80

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/GEWDRW8PJ2.jpg)

五色定理（頂点塗り分けVer.）の証明
背理法Ver.
五辺国補題より、Gには次数が5以下の頂点がある
次数が5以下の頂点をひとつ選び v とおく
v
G
次数５以下


# Page. 81

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/47ZGR586E3.jpg)

五色定理（頂点塗り分けVer.）の証明
背理法Ver.
G-v は G より頂点数が少ない平面グラフ
Gは最小反例だからG-vは5色以下で塗り分けられる
G-ｖ を5色以下で塗り分ける
G-v


# Page. 82

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/YJ6YR9PL7V.jpg)

五色定理（頂点塗り分けVer.）の証明
背理法Ver.
vに塗れる色が余っているとき
余っている色でvを塗る
1
2
2
v
4
G
3
次数５以下


# Page. 83

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/GJ5G8NKMJ4.jpg)

五色定理（頂点塗り分けVer.）の証明
背理法Ver.
vに塗れる色が余っているとき
余っている色でvを塗る
Gは5色以下で塗り分けられるのでGの定義に矛盾する
1
2
2
5
v
4
G
3
次数５以下


# Page. 84

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/LE3R82Z975.jpg)

五色定理（頂点塗り分けVer.）の証明
背理法Ver.
vに塗れる色が余っていないとき
vのまわりに5色すべて登場している
vの次数は５である
1
5
v1
2
v2
v5
v
4
G
v4 v 3 3


# Page. 85

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/8EDYMZR8EG.jpg)

五色定理（頂点塗り分けVer.）の証明
背理法Ver.
v1から色１と色３の頂点だけを辿ってみる
4
4
3
3
4
3
1
1
5
1
3
2
3
1
2
2
3
5
1
5
3
v1
2
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v5
v
4
G
1
3
1
4
1
4
v4 v 3 3
1
4
5
1


# Page. 86

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/V7P6RDWWJ8.jpg)

五色定理（頂点塗り分けVer.）の証明
背理法Ver.
v1から色１と色３の頂点だけを辿ってみる
4
4
3
3
4
3
1
1
5
1
3
2
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2
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1
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v1
2
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v5
v
4
G
1
3
1
4
1
4
v4 v 3 3
1
4
5
1


# Page. 87

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/2JV3R189EQ.jpg)

五色定理（頂点塗り分けVer.）の証明
背理法Ver.
v1から色１と色３の頂点だけを辿ってみる
v3まで辿り着けないとき
v1から辿れる範囲内の色１と色３を入れ替える
4
4
3
3
4
3
1
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1
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1
2
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v1
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v
4
G
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4
1
4
v4 v 3 3
1
4
5
1


# Page. 88

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/5EG3M2547L.jpg)

五色定理（頂点塗り分けVer.）の証明
背理法Ver.
v1から色１と色３の頂点だけを辿ってみる
v3まで辿り着けないとき
v1から辿れる範囲内の色１と色３を入れ替える
4
4
3
1
4
3
1
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1
1
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1
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v1
2
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v
4
G
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3
4
1
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v4 v 3 3
3
4
5
3


# Page. 89

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/4JQ5RPZR7P.jpg)

五色定理（頂点塗り分けVer.）の証明
背理法Ver.
v1から色１と色３の頂点だけを辿ってみる
v3まで辿り着けないとき
G-vは依然として塗り分けできている
4
4
3
1
4
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1
2
1
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2
2
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v1
2
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v
4
G
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1
3
4
1
4
v4 v 3 3
3
4
5
3


# Page. 90

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/K7498Y3QE1.jpg)

五色定理（頂点塗り分けVer.）の証明
背理法Ver.
v1から色１と色３の頂点だけを辿ってみる
v3まで辿り着けないとき
vの色を色１で塗るとGが塗り分けできてしまい矛盾
4
4
3
1
4
3
1
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1
1
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1
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1
v1
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v
4
G
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4
1
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v4 v 3 3
3
4
5
3


# Page. 91

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/LJ1K261L7G.jpg)

五色定理（頂点塗り分けVer.）の証明
背理法Ver.
v1から色１と色３の頂点だけを辿ってみる
v3まで辿り着けるとき
v1から辿れる範囲内の色１と色３を入れ替えてもダメ
4
4
3
3
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v1
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v2
v5
1
v
4
G
v4
v 3
3
1
3
1
3


# Page. 92

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/GJWDRW8Q72.jpg)

五色定理（頂点塗り分けVer.）の証明
背理法Ver.
v1から色１と色３の頂点だけを辿ってみる
v3まで辿り着けるとき
v2とv4が閉じた境界線で隔たれていることに注目
4
4
3
3
4
3
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1
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1
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v1
5
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v2
v5
1
v
4
G
v4
v 3
3
1
3
1
3


# Page. 93

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/4EZGR583J3.jpg)

五色定理（頂点塗り分けVer.）の証明
背理法Ver.
v2から色2と色4の頂点だけを辿ってみる
4
4
3
3
4
3
1
1
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1
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1
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1
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v1
5
3
2
v2
v5
1
v
4
G
v4
v 3
3
1
3
1
3


# Page. 94

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/Y76YR9PZEV.jpg)

五色定理（頂点塗り分けVer.）の証明
背理法Ver.
v2から色2と色4の頂点だけを辿ってみる
4
4
3
3
4
3
1
1
5
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3
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3
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v
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v4
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v 3
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v2
v5
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G
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1
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1
3
1
3
1


# Page. 95

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/G75G8NK974.jpg)

五色定理（頂点塗り分けVer.）の証明
背理法Ver.
v2から色2と色4の頂点だけを辿ってみる
v4までは辿り着けないので
v2から辿れる範囲内の色2と色4を入れ替える
4
4
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3
4
3
1
1
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1
3
2
3
1
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1
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v
4
v4
2
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v 3
3
2
4
v2
v5
1
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1
v1
5
G
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1
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1
3
1
3
1


# Page. 96

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/9J2YK5W5JR.jpg)

五色定理（頂点塗り分けVer.）の証明
背理法Ver.
v2から色2と色4の頂点だけを辿ってみる
v4までは辿り着けないので
v2から辿れる範囲内の色2と色4を入れ替える
4
4
3
3
4
3
1
1
5
1
3
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1
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5
1
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v
4
v4
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v2
v5
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5
G
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3
1
4
1
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3
1
3
1


# Page. 97

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/DEYGNKL6EM.jpg)

五色定理（頂点塗り分けVer.）の証明
背理法Ver.
G-vは依然として塗り分けできている
4
4
3
3
4
3
1
1
5
1
3
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2
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3
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v
4
v4
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v 3
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2
v2
v5
1
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1
v1
5
G
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3
1
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4
1
3
1
3
1


# Page. 98

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/VJNGXRL178.jpg)

五色定理（頂点塗り分けVer.）の証明
背理法Ver.
G-vは依然として塗り分けできている
vの色を色2で塗るとGが塗り分けできてしまい矛盾
以上より、五色定理は成り立つ
4
4
3
3
4
3
1
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3
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v
4
v4
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v1
5
G
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3
1


# Page. 99

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/YE9W8M4YE3.jpg)

五色定理（頂点塗り分けVer.）
平面グラフの頂点は
５色以下で塗り分けられる
2
5
1
2
3
4
4
2
2
2
3
1
1
4
3
5


# Page. 100

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/GE8N8LQK7D.jpg)

四色定理の
ケンプの誤証明


# Page. 101

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/LELPRLXP7R.jpg)

The Four-Color Theorem
四色定理
平面上のどんな地図も
４色あれば塗り分けられる
※ 隣接する異なる領域は異なる色で塗る
※ 点のみで接する場合は隣接とはみなさない


# Page. 102

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/4JM4RML27W.jpg)

四色問題の歴史（おさらい）
1852年
フランシス・ガスリー
フレデリック・ガスリー
ド・モルガン
18??年
ケイリー
1878年
ロンドン数学会
187９年
ケンプが証明した・・・？
1890年
ヘイウッドが誤りを指摘
ケンプの証明方針を発展
1977年
アッペルとハーケンが証明


# Page. 103

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/PJRWRVK579.jpg)

四色定理（頂点塗り分けVer.）
平面グラフの頂点は
4色以下で塗り分けられる
2
1
1
2
3
4
4
2
2
2
3
1
1
4
3
4


# Page. 104

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/PEXPRZLX7X.jpg)

挑戦状
今から四色定理を証明します
証明の誤りを指摘してください


# Page. 105

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/3EKDR8L9JD.jpg)

四色定理（頂点塗り分けVer.）の証明？
背理法Ver.
背理法で証明する
背理法の仮定
4色以下では塗り分けできない平面グラフがある
4色以下では塗り分けできない平面グラフのうち
頂点数が最小のものをひとつ選び G とおく
最小反例
G


# Page. 106

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/L73R8239J5.jpg)

四色定理（頂点塗り分けVer.）の証明？
背理法Ver.
五辺国補題より、Gには次数が5以下の頂点がある
次数が5以下の頂点をひとつ選び v とおく
v
G
次数５以下


# Page. 107

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/87DYMZ487G.jpg)

四色定理（頂点塗り分けVer.）の証明？
背理法Ver.
G-v は G より頂点数が少ない平面グラフ
Gは最小反例だからG-vは4色以下で塗り分けられる
G-ｖ を4色以下で塗り分ける
G-v


# Page. 108

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/VJP6RDMWE8.jpg)

四色定理（頂点塗り分けVer.）の証明？
背理法Ver.
vに塗れる色が余っているとき
余っている色でvを塗る
1
2
2
v
1
G
3
次数５以下


# Page. 109

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/2EV3R1997Q.jpg)

四色定理（頂点塗り分けVer.）の証明？
背理法Ver.
vに塗れる色が余っているとき
余っている色でvを塗る
Gは4色以下で塗り分けられるのでGの定義に矛盾する
1
2
2
4
v
1
G
3
次数５以下


# Page. 110

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/57G3M2Z4JL.jpg)

四色定理（頂点塗り分けVer.）の証明？
背理法Ver.
vに塗れる色が余っていないとき
vのまわりに4色すべて登場している
vの次数は4または５である
1
2
2
v
4
G
3
次数４または５


# Page. 111

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/4EQ5RPLRJP.jpg)

四色定理（頂点塗り分けVer.）の証明？
背理法Ver.
vに塗れる色が余っていないとき
次の３つのケースが考えられる
1-2-3-4型
1-2-3-4-4型
1-2-3-4-2型
1
1
1
v1
2
v2
4
4
v4 v3 3
2
v2
v5
v
v1
2
4
v 4 v3 3
2
v2
v5
v
v1
v
4
v4 v3 3


# Page. 112

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/KJ498YDQ71.jpg)

四色定理（頂点塗り分けVer.）の証明？
背理法Ver.
1-2-3-4型、1-2-3-4-4型のとき
1
4
v1
2
v2
v5
v
4
G
v4 v 3 3


# Page. 113

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/LE1K26ZLJG.jpg)

四色定理（頂点塗り分けVer.）の証明？
背理法Ver.
1-2-3-4型、1-2-3-4-4型のとき
v1から色１と色３の頂点だけを辿ってみる
4
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3
3
4
3
1
1
2
1
3
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3
1
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1
4
3
v1
2
v2
v5
v
4
G
1
3
1
4
1
4
v4 v 3 3
1
4
2
1


# Page. 114

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/GEWDRW9QJ2.jpg)

四色定理（頂点塗り分けVer.）の証明？
背理法Ver.
1-2-3-4型、1-2-3-4-4型のとき
v1から色１と色３の頂点だけを辿ってみる
4
4
3
3
4
3
1
1
2
1
3
2
3
1
2
2
3
2
1
4
3
v1
2
v2
v5
v
4
G
1
3
1
4
1
4
v4 v 3 3
1
4
2
1


# Page. 115

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/47ZGR593E3.jpg)

四色定理（頂点塗り分けVer.）の証明？
背理法Ver.
1-2-3-4型、1-2-3-4-4型のとき
v3まで辿り着けないとき
v1から辿れる範囲内の色１と色３を入れ替える
4
4
3
3
4
3
1
1
2
1
3
2
3
1
2
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![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/YJ6YR9KZ7V.jpg)

四色定理（頂点塗り分けVer.）の証明？
背理法Ver.
1-2-3-4型、1-2-3-4-4型のとき
v3まで辿り着けないとき
v1から辿れる範囲内の色１と色３を入れ替える
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![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/GJ5G8NP9J4.jpg)

四色定理（頂点塗り分けVer.）の証明？
背理法Ver.
1-2-3-4型、1-2-3-4-4型のとき
v3まで辿り着けないとき
G-vは依然として塗り分けできている
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![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/9E2YK565ER.jpg)

四色定理（頂点塗り分けVer.）の証明？
背理法Ver.
1-2-3-4型、1-2-3-4-4型のとき
v3まで辿り着けないとき
vの色を色１で塗るとGが塗り分けできてしまい矛盾
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# Page. 119

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/D7YGNK967M.jpg)

四色定理（頂点塗り分けVer.）の証明？
背理法Ver.
1-2-3-4型、1-2-3-4-4型のとき
v3まで辿り着けるとき
v1から辿れる範囲内の色１と色３を入れ替えてもダメ
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![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/VENGXRD1J8.jpg)

四色定理（頂点塗り分けVer.）の証明？
背理法Ver.
1-2-3-4型、1-2-3-4-4型のとき
v3まで辿り着けるとき
v2とv4が閉じた境界線で隔たれていることに注目
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# Page. 121

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/Y79W8MGY73.jpg)

四色定理（頂点塗り分けVer.）の証明？
背理法Ver.
1-2-3-4型、1-2-3-4-4型のとき
v2から色2と色4の頂点だけを辿ってみる
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# Page. 122

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/G78N8LVKJD.jpg)

四色定理（頂点塗り分けVer.）の証明？
背理法Ver.
1-2-3-4型、1-2-3-4-4型のとき
v2から色2と色4の頂点だけを辿ってみる
4
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![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/L7LPRL5PJR.jpg)

四色定理（頂点塗り分けVer.）の証明？
背理法Ver.
1-2-3-4型、1-2-3-4-4型のとき
v4までは辿り着けないので
v2から辿れる範囲内の色2と色4を入れ替える
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![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/4EM4RM32JW.jpg)

四色定理（頂点塗り分けVer.）の証明？
背理法Ver.
1-2-3-4型、1-2-3-4-4型のとき
v4までは辿り着けないので
v2から辿れる範囲内の色2と色4を入れ替える
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![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/PERWRVQ5J9.jpg)

四色定理（頂点塗り分けVer.）の証明？
背理法Ver.
1-2-3-4型、1-2-3-4-4型のとき
G-vは依然として塗り分けできている
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![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/P7XPRZ5XJX.jpg)

四色定理（頂点塗り分けVer.）の証明？
背理法Ver.
1-2-3-4型、1-2-3-4-4型のとき
G-vは依然として塗り分けできている
vの色を色2で塗るとGが塗り分けできてしまい矛盾
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![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/37KDR869ED.jpg)

四色定理（頂点塗り分けVer.）の証明？
背理法Ver.
1-2-3-4-2型のとき
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![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/LJ3R8269E5.jpg)

四色定理（頂点塗り分けVer.）の証明？
背理法Ver.
1-2-3-4-2型のとき
v1から色１と色３の頂点だけを辿ってみる
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![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/8JDYMZV8JG.jpg)

四色定理（頂点塗り分けVer.）の証明？
背理法Ver.
1-2-3-4-2型のとき
v1から色１と色３の頂点だけを辿ってみる
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四色定理（頂点塗り分けVer.）の証明？
背理法Ver.
1-2-3-4-2型のとき
v3まで辿り着けないとき
v1から辿れる範囲内の色１と色３を入れ替える
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![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/27V3R1Z9JQ.jpg)

四色定理（頂点塗り分けVer.）の証明？
背理法Ver.
1-2-3-4-2型のとき
v3まで辿り着けないとき
v1から辿れる範囲内の色１と色３を入れ替える
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![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/5JG3M244EL.jpg)

四色定理（頂点塗り分けVer.）の証明？
背理法Ver.
1-2-3-4-2型のとき
v3まで辿り着けないとき
G-vは依然として塗り分けできている
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# Page. 133

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/47Q5RPGREP.jpg)

四色定理（頂点塗り分けVer.）の証明？
背理法Ver.
1-2-3-4-2型のとき
v3まで辿り着けないとき
vの色を色１で塗るとGが塗り分けできてしまい矛盾
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# Page. 134

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/KE498Y5QJ1.jpg)

四色定理（頂点塗り分けVer.）の証明？
背理法Ver.
1-2-3-4-2型のとき
v3まで辿り着けるとき
v1から辿れる範囲内の色１と色３を入れ替えてもダメ
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# Page. 135

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/L71K26WLEG.jpg)

四色定理（頂点塗り分けVer.）の証明？
背理法Ver.
1-2-3-4-2型のとき
v3まで辿り着けるとき
v2とv4が閉じた境界線で隔たれていることに注目
4
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# Page. 136

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/G7WDRW6QE2.jpg)

四色定理（頂点塗り分けVer.）の証明？
背理法Ver.
1-2-3-4-2型のとき
v2から色2と色4の頂点だけを辿ってみる
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# Page. 137

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/4JZGR5Y373.jpg)

四色定理（頂点塗り分けVer.）の証明？
背理法Ver.
1-2-3-4-2型のとき
v2から色2と色4の頂点だけを辿ってみる
4
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# Page. 138

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/YE6YR9DZJV.jpg)

四色定理（頂点塗り分けVer.）の証明？
背理法Ver.
1-2-3-4-2型のとき
v4までは辿り着けないので
v2から辿れる範囲内の色2と色4を入れ替える
4
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# Page. 139

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/GE5G8N39E4.jpg)

四色定理（頂点塗り分けVer.）の証明？
背理法Ver.
1-2-3-4-2型のとき
v4までは辿り着けないので
v2から辿れる範囲内の色2と色4を入れ替える
4
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# Page. 140

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/972YK5Z57R.jpg)

四色定理（頂点塗り分けVer.）の証明？
背理法Ver.
1-2-3-4-2型のとき
G-vは依然として塗り分けできている
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# Page. 141

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/DJYGNKR6JM.jpg)

四色定理（頂点塗り分けVer.）の証明？
背理法Ver.
1-2-3-4-2型のとき
G-vは依然として塗り分けできている
vの色を色2で塗ることができない！
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# Page. 142

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/V7NGXRX1E8.jpg)

四色定理（頂点塗り分けVer.）の証明？
背理法Ver.
1-2-3-4-2型のとき
v1から色１と色4の頂点だけを辿ってみる
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1


# Page. 143

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/YJ9W8M8YJ3.jpg)

四色定理（頂点塗り分けVer.）の証明？
背理法Ver.
1-2-3-4-2型のとき
v1から色１と色4の頂点だけを辿ってみる
4
4
3
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# Page. 144

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/GJ8N8L8KED.jpg)

四色定理（頂点塗り分けVer.）の証明？
背理法Ver.
1-2-3-4-2型のとき
v4まで辿り着けないとき
v1から辿れる範囲内の色１と色4を入れ替える
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![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/LJLPRLRPER.jpg)

四色定理（頂点塗り分けVer.）の証明？
背理法Ver.
1-2-3-4-2型のとき
v4まで辿り着けないとき
v1から辿れる範囲内の色１と色4を入れ替える
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四色定理（頂点塗り分けVer.）の証明？
背理法Ver.
1-2-3-4-2型のとき
v4まで辿り着けないとき
G-vは依然として塗り分けできている・・・本当に？？
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![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/P7RWRVR5E9.jpg)

四色定理（頂点塗り分けVer.）の証明？
背理法Ver.
1-2-3-4-2型のとき
v4まで辿り着けないとき
G-vは依然として塗り分けできている・・・本当に？？
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v1とv2が辺で
結ばれてるかも
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![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/PJXPRZRXEX.jpg)

四色定理（頂点塗り分けVer.）の証明？
背理法Ver.
1-2-3-4-2型のとき
v4まで辿り着けないとき
G-vは依然として塗り分けできている・・・本当に？？
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（3）1414のくだり
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2424のくだりは 2
後回しにしよう
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v2
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（2）2424のくだり
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（１）1313のくだり
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![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/3JKDR8R97D.jpg)

途中まで戻ってやりなおし


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![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/LE3R828975.jpg)

四色定理（頂点塗り分けVer.）の証明？
背理法Ver.
1-2-3-4-2型のとき
v3まで辿り着けるとき
v2とv4は閉じた境界線で隔たれている
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四色定理（頂点塗り分けVer.）の証明？
背理法Ver.
1-2-3-4-2型のとき
v1から色１と色4の頂点だけを辿ってみる
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![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/V7P6RDRWJ8.jpg)

四色定理（頂点塗り分けVer.）の証明？
背理法Ver.
1-2-3-4-2型のとき
v1から色１と色4の頂点だけを辿ってみる
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四色定理（頂点塗り分けVer.）の証明？
背理法Ver.
1-2-3-4-2型のとき
v4まで辿り着けないとき
v1から辿れる範囲内の色１と色4を入れ替える
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![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/5EG3M2M47L.jpg)

四色定理（頂点塗り分けVer.）の証明？
背理法Ver.
1-2-3-4-2型のとき
v4まで辿り着けないとき
v1から辿れる範囲内の色１と色4を入れ替える
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四色定理（頂点塗り分けVer.）の証明？
背理法Ver.
1-2-3-4-2型のとき
v4まで辿り着けないとき
G-vは依然として塗り分けできている
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四色定理（頂点塗り分けVer.）の証明？
背理法Ver.
1-2-3-4-2型のとき
v4まで辿り着けないとき
vの色を色１で塗るとGが塗り分けできてしまい矛盾
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# Page. 157

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/LJ1K262L7G.jpg)

四色定理（頂点塗り分けVer.）の証明？
背理法Ver.
1-2-3-4-2型のとき
v4まで辿り着けるとき
v1から辿れる範囲内の色１と色4を入れ替えてもダメ
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# Page. 158

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/GJWDRWRQ72.jpg)

四色定理（頂点塗り分けVer.）の証明？
背理法Ver.
1-2-3-4-2型のとき
v4まで辿り着けるとき
v5とv3は閉じた境界線で隔たれている
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![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/4EZGR5R3J3.jpg)

四色定理（頂点塗り分けVer.）の証明？
背理法Ver.
1-2-3-4-2型のとき
v2から色2と色4の頂点だけを辿ってみる
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![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/Y76YR9RZEV.jpg)

四色定理（頂点塗り分けVer.）の証明？
背理法Ver.
1-2-3-4-2型のとき
v2から色2と色4の頂点だけを辿ってみる
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![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/G75G8N8974.jpg)

四色定理（頂点塗り分けVer.）の証明？
背理法Ver.
1-2-3-4-2型のとき
v4までは辿り着けないので
v2から辿れる範囲内の色2と色4を入れ替える
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# Page. 162

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/9J2YK5K5JR.jpg)

四色定理（頂点塗り分けVer.）の証明？
背理法Ver.
1-2-3-4-2型のとき
v4までは辿り着けないので
v2から辿れる範囲内の色2と色4を入れ替える
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![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/DEYGNKN6EM.jpg)

四色定理（頂点塗り分けVer.）の証明？
背理法Ver.
1-2-3-4-2型のとき
v5から色2と色３の頂点だけを辿ってみる
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![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/VJNGXRV178.jpg)

四色定理（頂点塗り分けVer.）の証明？
背理法Ver.
1-2-3-4-2型のとき
v5から色2と色３の頂点だけを辿ってみる
4
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# Page. 165

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/YE9W8M6YE3.jpg)

四色定理（頂点塗り分けVer.）の証明？
背理法Ver.
1-2-3-4-2型のとき
v3までは辿り着けないので
v5から辿れる範囲内の色2と色３を入れ替える
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# Page. 166

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/GE8N8LZK7D.jpg)

四色定理（頂点塗り分けVer.）の証明？
背理法Ver.
1-2-3-4-2型のとき
v3までは辿り着けないので
v5から辿れる範囲内の色2と色３を入れ替える
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# Page. 167

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/LELPRLDP7R.jpg)

四色定理（頂点塗り分けVer.）の証明？
背理法Ver.
1-2-3-4-2型のとき
G-vは依然として塗り分けできている
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![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/4JM4RMP27W.jpg)

四色定理（頂点塗り分けVer.）の証明？
背理法Ver.
1-2-3-4-2型のとき
G-vは依然として塗り分けできている
vの色を色2で塗るとGが塗り分けできてしまい矛盾
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# Page. 169

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/PJRWRV1579.jpg)

四色定理（頂点塗り分けVer.）の証明？
背理法Ver.
以上より、四色定理は成り立つ
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![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/PEXPRZYX7X.jpg)

証明の誤りを指摘してください


# Page. 171

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/3EKDR839JD.jpg)

証明の誤り
v1からv3への閉じた境界線と
v1からv4への閉じた境界線が
v1とv以外で交差するケースを見逃している！
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![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/L73R82G9J5.jpg)

証明の誤り
下図のケースを考えてみよう
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![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/87DYMZ187G.jpg)

証明の誤り
v2から色2と色4の頂点だけを辿ってみる
v4までは辿り着けないので
v2から辿れる範囲内の色2と色4を入れ替える
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証明の誤り
v2から色2と色4の頂点だけを辿ってみる
v4まで辿り着けないので
v2から辿れる範囲内の色2と色4を入れ替える
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証明の誤り
v5から色2と色３の頂点だけを辿ってみる
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証明の誤り
v5から色2と色３の頂点だけを辿ってみる
v3まで辿り着け・・・てしまう！！！？？！？
v5から辿れる範囲内の色2と色３を入れ替えてもダメ
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四色問題の歴史（おさらい）
1852年
フランシス・ガスリー
フレデリック・ガスリー
ド・モルガン
18??年
ケイリー
1878年
ロンドン数学会
187９年
ケンプが証明した・・・？
1890年
ヘイウッドが誤りを指摘
ケンプの証明方針を発展
1977年
アッペルとハーケンが証明


