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title: ディンキン図形を知る（ルート系とディンキン図形）
tags:  #数学 #関西日曜数学友の会  
author: [USAMI Kosuke](https://convert.docswell.com/user/usami-k)
site: [Docswell](https://www.docswell.com/)
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description: 第４回 関西日曜数学 友の会 https://kansai-sunday-math.connpass.com/event/112125/  ディンキン図形を知る - usami-k 数学日記 https://usami-k.hatenadiary.jp/entry/2019/04/14/125012
published: April 13, 19
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# Page. 1

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ディンキン図形を知る
（ルート系とディンキン図形）
宇佐見 公輔
2019 年 4 月 13 日
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# Page. 2

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ディンキン図形とは何か
「ルート系（root system）
」と呼ばれる対象を図であらわしたもの
が「ディンキン図形（Dynkin diagram）」です。
Example (ディンキン図形)
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# Page. 3

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ルート系とは何か
実ベクトル空間の部分集合で、ある特定の条件（これはもう少し
後で述べます）を満たすものを「ルート系（root system）
」と呼
びます。
Example (ルート系)
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# Page. 4

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なぜルート系を考えるのか
ルート系は、リー代数（Lie algebra）を分類する研究の中であら
われました。
• 複素数体上の有限次元単純リー代数は、ルート分解という直
和分解ができます。
• そこに出てくるルート（root）というベクトルの集合は、あ
る一定の性質を持っています。
• この性質をルート系の定義として、ルート系の分類をするこ
とでリー代数の分類ができます。
その後、数学の様々な分野でルート系が登場することが知られる
ようになりました。
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# Page. 5

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ルート系の定義の準備：鏡映
E を有限次元実ベクトル空間、v, w ∈ E の内積を (v|w) とします。
Definition (超平面)
v ∈ E に対して Pv := {w ∈ E | (v|w) = 0} と定義し、v と直交す
る超平面（hyperplane）と呼びます。
Definition (鏡映)
v ∈ E と x ∈ E に対して、
c(x, v) :=
2(x|v)
(v|v)
と定義し、写像 σv : E → E を以下で定義します。
x 7→ x − c(x, v)v
σv を、超平面 Pv に関する鏡映（reflection）と呼びます。
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# Page. 6

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ルート系の定義
Definition (ルート系)
∆ ⊂ E がルート系（root system）であるとは、以下を満たすこと
です。
1. ∆ は 0 を含まない有限集合で、E を張る。
2. c ∈ R、v ∈ ∆、cv ∈ ∆ のとき、c = ±1 である。
3. v ∈ ∆ のとき、σv (∆) = ∆ である。
4. v, w ∈ ∆ のとき、c(v, w) ∈ Z である。
また、ルート系の元をルート（root）と呼びます。
条件 4 が少し分かりにくいですが、言葉でいえば、
「v の鏡映 σv
で w を移したときの差分が v の整数倍になる」という感じになり
ます。
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# Page. 7

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ルート系の例
Example (2 次元空間のルート系)
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# Page. 8

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2 つのルートの関係
ベクトル v, w のなす角を θ とします。
c(v, w) の定義から c(v, w)c(w, v) = 4 cos2 θ が導けます。
ここで v, w をルートとし、それらが線型独立とすると、
c(v, w) ∈ Z から、
c(v, w)c(w, v) = 0, 1, 2, 3
となることが分かります。
また、θ のとりうる値は以下です。
π π 2π π 3π π 5π
, , , , , ,
2 3 3 4 4 6 6
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# Page. 9

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ルート系の底
ルート系には、基底のようなものが存在しています。
Proposition (ルート系の底)
∆ ⊂ E をルート系とします。以下を満たす Π ⊂ ∆ が存在します。
1. Π は E の基底である。
P
2. v ∈ ∆ を v = e∈Π ce e とすると、ce は全て 0 以上の整数、
または全て 0 以下の整数となる。
Π を ∆ の底（base）と呼びます。
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# Page. 10

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ディンキン図形の定義
Definition (ディンキン図形)
∆ を n 次元空間のルート系、Π を ∆ の底とします。
以下のように構成されるグラフを ∆ のディンキン図形（Dynkin
diagram）と呼びます。
1. n 個のノードを持つ。各ノードは Π の元でラベルづけされる。
2. ノードとノードを何本かの辺で結ぶ。その本数は
c(v, w)c(w, v) とする。（したがって、0〜3 本である）
3. 辺で結ばれたノードについて、(v|v) と (w|w) が異なる場合、
大きいほうのノードから小さいほうのノードへ矢印をつける。
補足：c(v, w)c(w, v) = 1 のときは (v|v) = (w|w) であるため、矢
印がつくのは辺が 2 本または 3 本のときとなります。
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# Page. 11

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ディンキン図形の例
Example (2 次元空間のルート系のディンキン図形)
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# Page. 12

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なぜディンキン図形を考えるのか
ルート系の性質をディンキン図形の性質に置きかえると、簡単な
性質になります。例えば、以下のような性質が導けます。
• ループを持たない。
• 分岐は多くともひとつしかない。
• ひとつのノードから出る辺は 3 本以内である。
また、分岐がある場合にそれぞれの分岐はどのくらいの長さが可
能か、といった議論もできます。
これらを使って可能なディンキン図形を分類することで、ルート
系の分類ができます。
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# Page. 13

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ディンキン図形の分類
Theorem (ディンキン図形の分類)
ディンキン図形は以下のいずれかと一致する。また、以下のディ
ンキン図形に対応するルート系が存在する。
• An (n ≥ 1)
• Bn (n ≥ 2)
• Cn (n ≥ 3)
• Dn (n ≥ 4)
• En (n = 6, 7, 8)
• F4
• G2
具体的な図は次ページ以降で。
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# Page. 14

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ディンキン図形：古典型
An
Bn
Cn
Dn
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# Page. 15

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ディンキン図形：例外型
E6
E7
E8
F4
G2
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# Page. 16

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ルート系とディンキン図形の面白さ
個人的に思う、ルート系とディンキン図形の面白さは以下のよう
なところです。
• ルート系の性質が簡単なグラフ上の性質に置き換わる
• 分類結果が多すぎず少なすぎず、ちょうどいいくらいの種類
• 例外型に感じられるロマン
• いろいろな分野に顔を出す意外性
決して難しい理論ではないので、ぜひ触れてみてください。
また、拡大ディンキン図形など、類似の図形もいろいろあるので、
調べてみると面白いかと思います。
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