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title: ペントミノ牧場パズル
tags:  #数学 #日曜数学会  
author: [USAMI Kosuke](https://convert.docswell.com/user/usami-k)
site: [Docswell](https://www.docswell.com/)
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description: ペントミノ牧場パズル　＠第20回日曜数学会 - ニコニコ動画 https://www.nicovideo.jp/watch/sm38245603  第20回日曜数学会 https://live2.nicovideo.jp/watch/lv330088172  ペントミノ牧場パズルの話をしました #日曜数学会 - usami-k 数学日記 https://usami-k.hatenadiary.jp/entry/2021/01/25/082148
published: January 24, 21
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ペントミノ牧場パズル
宇佐見 公輔
2021 年 1 月 24 日
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宇佐見 公輔
ペントミノ牧場パズル


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自己紹介
職業：プログラマ / 趣味：数学
最近の活動：
ルービックキューブ群を SageMath で見る（10 月 / 日曜数
学会）
ルービックキューブと群論（10 月 / 関西日曜数学友の会）
平面の敷き詰めとルート系（6 月 / 日曜数学会）
四元数のはなし（5 月 / 関西日曜数学友の会）
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ペントミノ牧場パズル


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ペントミノ
正方形 5 つを辺どうしを合わせてつなげた形。回転・鏡像で重な
るものを同じとみなすと、12 個あります。
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ペントミノ牧場パズル


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ペントミノパズル
ペントミノを使ったパズルとして、12 個のピースを並べて平面図
形を作る、というものがもっともよく知られています。
次の図では、6 × 10 の長方形を作っています。
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ペントミノ牧場パズル


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ペントミノパズルの解
一般的に「いくつかのポリオミノを使って特定の平面図形を作る」
という問題に対して、それを解くアルゴリズムが知られています。
（Donald E. Knuth, Dancing links, arXiv cs/0011047, 2000）
このアルゴリズムは SageMath に実装されていて、簡単に使うこ
とができます。（sage.combinat.tiling.TilingSolver クラス）
先ほどの 6 × 10 の長方形の場合、2339 通りの解があります。
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ペントミノ牧場
ここでは、ペントミノを使った別のパズル、ペントミノ牧場
（Pentomino farm）を紹介します。12 個のピースを並べて輪を作
ります。囲まれてできる図形の面積の最大値はいくつでしょうか。
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ペントミノ牧場の最大値
答えを示してしまいますが、最大値は 128 です。
ペントミノのタイリングパズルではコンピュータを使って解を出
していました。そのため、ペントミノ牧場のパズルもコンピュー
タを使うのが良さそうに見えます。
しかし、実は理詰めで最大値が 128 であることを証明することが
できます。今回はその概略を説明します。
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できる図形の形を考える
矩形を基準として内側にへこんだ形と考えることができます。
矩形は 12 × 12 = 144、へこんだ部分は全部で 17、飛び出ている
部分が 1 です。したがって、144 − 17 + 1 = 128 となります。
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周の長さを考える (1)
可能な基準矩形の大きさを考えるために、周の長さを考えます。
各ピースが周をかたちづくるときに、「他のピースから入ってく
る正方形」と「他のピースに出ていく正方形」があります。その
間の「長さ」の最大値がピースごとに決まります。
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周の長さを考える (2)
合計すると 5 × 6 + 4 × 5 + 3 × 1 = 53 です。矩形の周の長さなの
で偶数である必要があり、実際には 52 が最大です。
このことから、次のような矩形が基準として考えられます。
13 × 13 の正方形 : 面積は 12 × 12 = 144 です。
14 × 12 の長方形 : 面積は 13 × 11 = 143 です。
15 × 11 の長方形 : 面積は 14 × 10 = 140 です。
1 つのピースだけ最大の長さを使いません。U のピースを長さ 3
とみなして、矩形から飛び出る部分が 1 個生じると考えるのが最
も効率が良いです。
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ピースの分類
さらに突っ込んで考えるには「長さ」だけでなく、入ってから出
るまでの「進み」と「寄り」で分類します。
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へこみの量
この分類から、基準矩形に対してへこみが 6 と飛び出しが 1 ある
ことが分かります。
さらに細かく考えて、辺に置くべきピース、角に置くべきピース
を考えると、基準矩形に対して 11 の削りが必要であることが分
かります。
このため、144 − 6 + 1 − 11 = 128 が最大面積であることが導け
ます。
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参考文献
ペントミノパズル：
Donald E. Knuth, Dancing links, arXiv cs/0011047
Tiling Solver - Sage Reference Manual
ペントミノ牧場：
島内剛一, ルービック・キューブと数学パズル
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宇佐見 公輔
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